木を見て森を見ず
なんて言葉、聞いたことありますか？
目の前の物事の一部に集中するあまり、その全体を把握できていない状態のことです。
どんな物事でも、一歩引いて全体のバランスを考えることは大切です。算数、数学も同じです！
今自分が出そうとしている値は、問題全体でみるとどの部分に当たるのか？どんな役割を果たすのか？
そんなことを意識しながら、回答していきましょう。
【問題】
Ｎを整数とします。１からＮまでの整数のうち、３の倍数の個数をＡ、４の倍数の個数をＢ、３の倍数でも４の倍数でもない数の個数をＣとします。
（１）Ｎが５０のとき、Ａ、Ｂ、Ｃをそれぞれ求めなさい。
（２）Ｃが１２となるようなＮをすべて求めなさい。
（３）Ｎを１から２５０までの整数とします。ＮがＣの２倍となるようなＮは何個ありますか。
（４）ＡとＢの差が１５となるようなＮは何個ありますか。また、これらの数のうち、最も小さい数と最も大きい数をそれぞれ求めなさい。
各倍数の個数を調べて整理する問題ですね！
（１）から順番に難易度が上がっていくのが通常です。だいたい（１）は力技でも解けてしまうので、絶対に点数を取りたいところ。
前編の本記事では（１）（２）を解説します！
(1)
Nが５０なので、１〜５０までの整数について考えます。
これは基礎的な問題ですね！
A：３の倍数は何個あるのか。
3、6、9、・・・45、48
まであります。３から始まって、3個に1回のペースで３の倍数は登場します。
というわけで、
50÷3=16余り2
よって、A=16
B:4の倍数も同様に求めましょう。
50÷4=12余り2
よって、B=12
さあ、50個の整数のうち3の倍数と4の倍数の個数はわかりました！
あとは残ったCを考えれば終わりです！
C=50-A-B
・・・って書いたらアウトです！！！
なんでダメなのか？
実は、このAとBのグループには重複している部分があるからです！！
（青色部分が、重複部分。）
1~Nまでの整数において、「３の倍数であり、4の倍数でもある整数」ってありますよね。
ここではDと呼びましょう。
例えば24。2×3×4なので、約数に３と４を含みます。
3の倍数でもあり４の倍数でもあるならば、3×4=１２の倍数を探せばOKです。これでDの個数を求めましょう。
50÷12=4あまり2
よって、D=4(個)です。
それでは、Cを計算しましょうか！
全体からAとBを引いて、さらに重複して（2回分）引いてしまったDの部分を１回足せばOKです。
よって、
C=50-A-B+D=50-16-12+4=26
C=26
(2)
C=12の時、(1)と比べたら少ない数ですね。
ということは、 「おそらくNは50より小さい数になるんだろうな〜」
と思って解くことから始めましょう。どんな問題も、難しく考えてはいけません！
さて、以前数学の規則性の問題で、表を使いました。
今回も、この問題の規則性とやらを調べてみましょう。
N、A、B、D、Cの順に、得点板のように並べてみます。
こんな感じです！いかがでしょうか。
実はNを全部書く必要はありません。なぜなら、AとB、Dの数字が増えるタイミングに着目したからです。
・Aは３の倍数の個数なので、当然Nが３増える毎に１増えます。
・Bは４の倍数の個数なので、Nが４増える毎に１増えます。
・Dは１２の倍数の個数なので、Nが１２増える毎に１増えます。
この３つの規則性に注意して、表を書いてみましょう。
ご覧の通り、N=24のときC＝１２ですね！
ですが、答えはこれだけではないかもしれません。
なぜなら、Nが１増えたり減ったりしても、それに合わせてA、B、Dの数も変化し、C＝１２のままのことがあり得るからです！
すなわち、C＝１２となるNは他にもあるかもしれません。
では、N＝２４のご近所さんを調べてみましょう。
はい、あっさり見つかりましたね！C=１２となるNは
N=２３、２４
です。
受験で難しいと言われる問題の多くは、公式を当てはめるだとか、そんな丸暗記で解くのではありません。
簡単に考え、コツコツとした地道な作業こそが正解にたどりつく手段となります。
ちなみにこの問題は「桐朋中学校０７年第７問」です。
次回、（３）（４）に挑みましょう！
